已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,且{an}、{bn}满足条件:S4=4a3-2,Tn=2bn-2.
(Ⅰ)求公差d的值;
(Ⅱ)若对任意的n∈N+,都有Sn≥S5成立,求a1的取直范围;
(Ⅲ)若a1=-4,令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Vn.
解:(I)设等比数列{b
n}的公比为q,由S
4=4a
3-2,得
,化为6d=8d-2,解得d=1.即公差d=1.
(II)由S
n≥S
5成立,得到
,化为(n-5)(2a
1+n+4)≥0.
由于对任意的n∈N
*,都有S
n≥S
5成立,∴
且
解得
.
∴
.
(III)①当a
1=-4时,a
n=-4+(n-1)×1=n-5;
②当n=1时,b
1=T
1=2b
1-2,解得b
1=2;
当n≥2时,b
n=T
n-T
n-1=2b
n-2-(2b
n-1-2)=2b
n-2b
n-1,化为b
n=2b
n-1.
∴数列{b
n}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴
.
∴
.
∴
+0+2
6+2×2
7+…+(n-5)•2
n,
-2
5+2
7+2
8+…+(n-6)•2
n+(n-5)•2
n+1.
两式相减得-V
n=-8+2
2+2
3+…+2
n+(5-n)•2
n+1=
,
化为
.
分析:(I)利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可解出;
(II)利用等差前n项和公式化为(n-5)(2a
1+n+4)≥0.由于对任意的n∈N
+,都有S
n≥S
5成立,可得
且
,解出即可.
(III)利用等差数列的通项公式即可得出a
n.利用n≥2时,b
n=T
n-T
n-1,n=1时b
1=T
1,及等比数列的通项公式即可得到b
n.利用“错位相减法”即可得到V
n.
点评:数列掌握等差数列的通项公式和前n项和公式、分类讨论的思想方法、利用n≥2时b
n=T
n-T
n-1及n=1时b
1=T
1、等比数列的通项公式、“错位相减法”是解题的关键.