Question

已知圆2x²+2y²-8x-8y-1=0的圆心为M，B为该圆上任意一点，当直线BM 与直线l：x+y-9=0 相交于点A时，圆上总存在点C使∠BAC=45°．
（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
（2）求点A的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据圆与直线的方程可知：M（2，2），A（4，5），kAM=

3

2

，设直线AC的斜率为k，则有

|k- 3 2 |

|1+ 3 2 k|

=1，解得k从而求得直线AC的方程；
（2）将圆的方程化为（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）^₂，设A（a，9-a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M上，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即

|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

34

2

求解．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y-7=x-2，M到它的距离d=

5 2

2

＞

34

2

，这样点C不在圆M上不成立．

解答：解：（1）依题意M（2，2），A（4，5），kAM=

3

2

，
设直线AC的斜率为k，则

|k- 3 2 |

|1+ 3 2 k|

=1，
解得k=-5或k=

1

5

，
故所求直线AC的方程为5x+y-25=0或x-5y+21=0；

（2）圆的方程可化为（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）^₂，设A点的横坐标为a．
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，kAB=

7-a

a-2

，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，
则可得k=

5

2a-9

，直线AC的方程为y-（9-a）=

5

2a-9

（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a²+22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即

|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

34

2

，
化简得a²-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d=

|2-2+5|

2

=

5 2

2

＞

34

2

，
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，还涉及了直线中的到角公式，点到直线的距离等，考查计算能力．