Question

11．已知函数f（x）=log₂x（4-x）．
（I）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）如果函数f（x）在区间[n，m]上的值域是[log₂（n+2），log₂（m+2）]，试求实数m的值；
（Ⅲ）如果函数f（x）在区间（0，m]上的值域是（-∞，log₂（λm^2_）]．求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=log₂[-（x-2）²+4]，当x∈（0，2）时，f（x）单调递增，当x∈（2，4）时，f（x）单调递减；
（2）根据二次函数的图象分三类讨论，列式求解；
（3）分两类讨论，用分离参数发求解．

解答 解：（1）f（x）=log₂[-（x-2）²+4]，x∈（0，4），
当x∈（0，2）时，f（x）单调递增，当x∈（2，4）时，f（x）单调递减，
依题意，x∈（m，m+1），f（x）单调递增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m+1≤2}\end{array}\right.$，解得m∈[0，1]；
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）上递增，在（2，4）递减，
要使函数在[n，m]的值域为[log₂（n+2），log₂（m+2）]，需分类如下：
①当0＜n＜m≤2时，函数递增，所以f（x）_min=f（n），f（x）_max=f（m），
即log₂n（4-n）=log₂（n+2），log₂m（4-m）=log₂（m+2），
解得n=1，m=2，经检验符合题意；
②当2≤n＜m＜4时，函数单调递减，所以f（x）_min=f（m），f（x）_max=f（n），
即log₂n（4-n）=log₂（m+2），log₂m（4-m）=log₂（n+2），
即n（4-n）=m+2，m（4-m）=n+2，两式相减得m+n=5，
所以，n²-5n+7=0，该方程无解；
③当0＜n＜2＜m＜4时，所以，f（x）_max=f（2）=log₂4=log₂（m+2），解得m=2，舍去；
综合以上讨论得，n=1，m=2；
（3）因为f（x）在（0，2）上递增，在（2，4）递减，所以分两类讨论，
①当0＜m≤2时，f（x）_max=f（m）=log₂m（4-m）=log₂（λm²），
解得λ=$\frac{4}{m}$-1∈[1，+∞）；
②当2＜m＜4时，f（x）_max=f（2）=log₂4=log₂（λm²），
解得λ=$\frac{4}{m^2}$∈（$\frac{1}{4}$，1），
综合以上讨论得，λ∈（$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，以及二次函数的性质和分类讨论的解题思想，属于难题．