【题目】已知无穷数列的前项中的最大项为,最小项为,设.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和;
(3)若数列是等差数列,求证:数列是等差数列.
【答案】(1);(2),当时,;(3)证明见解析
【解析】
(1)利用数列的通项公式判断其增减性,从而确定,的表达式,进而求出数列的通项公式;
(2)由计算,时,数列单调递减,所以当时,,利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案;
(3)设数列的公差为,则,讨论,三种情况,分别证明数列为等差数列即可.
(1)由得是递增数列,
所以,
所以.
(2)由得,
当,,即;
当,,即.
又,
所以,当时,,
所以,
当时,令,
则,即.
所以
.
综上所述,,当时,.
(3)设数列的公差为,
则,
由题意,
①,对任意都成立,
即,所以是递增数列.
所以,
所以,
所以数列是公差为的等差数列;
②当时,对任意都成立,
进面,
所以是递减数列.,
所以
所以数列是公差为的等差数列;
③当时,,
因为与中至少有一个为0,
所以二者都为0,进而可得数列为常数列,
综上所述,数列为等差数列.
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【题目】已知直线与椭圆交于不同的两点,.
(1)若线段的中点为,求直线的方程;
(2)若的斜率为,且过椭圆的左焦点,的垂直平分线与轴交于点,求证:为定值.
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【题目】已知函数的部分图象如图所示,若将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列命题正确的是( ).
A.函数的解析式为
B.函数的解析式为
C.函数图象的一条对称轴是直线
D.函数在区间上单调递增
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【题目】已知函数,,、.
(1)若,且函数的图象是函数图象的一条切线,求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;
(3)若对任意实数,函数在上总有零点,求实数的取值范围.
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【题目】某公司为了了解一种新产品的销售情况,对该产品100天的销售数量做调查,统计数据如下图所示:
销售数量(件) | 48 | 49 | 52 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | |
天数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 |
经计算,上述样本的平均值,标准差.
(Ⅰ)求表格中字母的值;
(Ⅱ)为评判该公司的销售水平,用频率近似估计概率,从上述100天的销售业绩中随机抽取1天,记当天的销售数量为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);
①;②;③.
评判规则是:若同时满足上述三个不等式,则销售水平为优秀;仅满足其中两个,则等级为良好;若仅满足其中一个,则等级为合格;若全部不满足,则等级为不合格.试判断该公司的销售水平;
(Ⅲ)从上述100天的样本中随机抽取2个,记样本数据落在内的数量为,求的分布列和数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆的四个顶点围成的四边形面积为,圆经过椭圆的短轴端点.
求椭圆的方程;
过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于,和,四点,求四边形面积的最小值.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,以为圆心过椭圆左顶点的圆与直线相切于,且满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点,,问内切圆面积是否有最大值?若有,求出最大值;若没有,说明理由.
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