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【题目】已知无穷数列的前项中的最大项为,最小项为,设.

1)若,求数列的通项公式;

2)若,求数列的前项和

3)若数列是等差数列,求证:数列是等差数列.

【答案】1;(2,当时,;(3)证明见解析

【解析】

1)利用数列的通项公式判断其增减性,从而确定的表达式,进而求出数列的通项公式;

2)由计算时,数列单调递减,所以当时,,利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案;

3)设数列的公差为,则,讨论三种情况,分别证明数列为等差数列即可.

1)由是递增数列,

所以

所以.

2)由

,即

,即.

所以,当时,

所以

时,令

,即.

所以

.

综上所述,,当时,.

3)设数列的公差为

由题意

,对任意都成立,

,所以是递增数列.

所以

所以

所以数列是公差为的等差数列;

②当时,对任意都成立,

进面

所以是递减数列.

所以

所以数列是公差为的等差数列;

③当时,

因为中至少有一个为0

所以二者都为0,进而可得数列为常数列,

综上所述,数列为等差数列.

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【题目】某公司为了了解一种新产品的销售情况,对该产品100天的销售数量做调查,统计数据如下图所示:

销售数量(件)

48

49

52

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

天数

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

经计算,上述样本的平均值,标准差.

(Ⅰ)求表格中字母的值;

(Ⅱ)为评判该公司的销售水平,用频率近似估计概率,从上述100天的销售业绩中随机抽取1天,记当天的销售数量为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);

;②;③.

评判规则是:若同时满足上述三个不等式,则销售水平为优秀;仅满足其中两个,则等级为良好;若仅满足其中一个,则等级为合格;若全部不满足,则等级为不合格.试判断该公司的销售水平;

(Ⅲ)从上述100天的样本中随机抽取2个,记样本数据落在内的数量为,求的分布列和数学期望.

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【题目】已知函数

1)若处的切线的方程为,求此时的最值;

2)若对任意,不等式成立,求实数的取值范围.

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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆的四个顶点围成的四边形面积为,圆经过椭圆的短轴端点.

求椭圆的方程;

过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于四点,求四边形面积的最小值.

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