已知二次函数的导函数的图像与直线
平行,且
在
处取得极小值
.设
.
(1)若曲线上的点
到点
的距离的最小值为
,求
的值;
(2)如何取值时,函数
存在零点,并求出零点.
(1)或
;(2)详见解析.
解析试题分析:(1)先设点的坐标,利用两点间的距离公式将
表示为
为自变量的函数,利用基本不等式求出相应的最小值,然后列方程求出
的值;(2)令
,将函数
的零点转化为求方程
的根,对首项系数
的符号进行分类讨论,以及在首项系数不为零时对
的符号进行分类讨论,从而确定函数在定义域上是否存在零点,并且在零点存在的前提下利用求根公式求出相应的零点值.
试题解析:(1)依题可设 (
),则
;
又的图像与直线
平行
,
,
设,则
当且仅当时,
取得最小值,即
取得最小值
当时,
解得
当时,
解得
(2)由(
),得
当时,方程
有一解
,函数
有一零点
;
当时,方程
有二解
,
若,
,
函数有两个零点
,即
;
若,
,
函数有两个零点
,即
;
当时,方程
有一解
,
,
函数有一零点
综上,当时, 函数
有一零点
;
当(
),或
(
)时,
函数有两个零点
;
当时,函数
有一零点
.
考点:1.两点间的距离公式;2.基本不等式;3.分类讨论;4.一元二次方程的求解
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
我国加入WTO后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量的关系允许近似的满足:
(其中
为关税的税率,且
,
为市场价格,
、
为正常数),当
时的市场供应量曲线如图:
(1)根据图象求、
的值;
(2)若市场需求量为,它近似满足
.当
时的市场价格称为市场平衡价格.为使市场平衡价格控制在不低于9元,求税率
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,小时内供水总量为
吨(
),从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知偶函数满足:当
时,
,当
时,
.
(1)求当时,
的表达式;
(2)试讨论:当实数满足什么条件时,函数
有4个零点,且这4个零点从小到大依次构成等差数列.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度(单位:
)和燃料的质量
(单位:
),火箭(除燃料外)的质量
(单位:
)满足
.(
为自然对数的底)
(Ⅰ)当燃料质量为火箭(除燃料外)质量
两倍时,求火箭的最大速度(单位:
);
(Ⅱ)当燃料质量为火箭(除燃料外)质量
多少倍时,火箭的最大速度可以达到8
.(结果精确到个位,数据:
)
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