Question

12．如图，已知矩形ABCD所在平面与等腰直角三角形BEC所在平面互相垂直，BE⊥EC，AB=BE，M为线段AE的中点．
（Ⅰ） 证明：BM⊥平面AEC；
（Ⅱ） 求MC与平面DEC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出AB⊥EC，EC⊥BM，AE⊥BM，由此能证明BM⊥平面AEC．
（Ⅱ）将几何体ABCDE补成三棱柱AFD-BEC，设EF的中点为G，连结MG，GC，推导出∠MCG为MC与平面DEC所成的角，由此能求出MC与平面DEC所成的角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面BEC，
所以AB⊥平面BEC，故AB⊥EC．
因为BE⊥EC，所以EC⊥平面ABE，
故EC⊥BM． …（3分）
因为AB=BE，M为AE的中点，所以AE⊥BM．
所以BM⊥平面AEC．…（7分）
解：（Ⅱ）如图，将几何体ABCDE补成三棱柱AFD-BEC，
设EF的中点为G，连结MG，GC．
因为MG∥BE，所以MG⊥平面DEC． …（10分）
因此∠MCG为MC与平面DEC所成的角． …（11分）
不妨设AB=2，则AB=BE=EC=2，
因此MG=1，$ME=\sqrt{2}$，$MC=\sqrt{6}$，
故$sin∠MCG=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
所以MC与平面DEC所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．…（15分）

点评 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．