分析 (1)通过直线l转化为直线系,求出直线恒过的定点;
(2)说明直线l被圆C截得的弦长最小时,圆心与定点连线与直线l垂直,求出斜率即可求出m的值,再由勾股定理即可得到最短弦长;
(3)由CM⊥DM得AB中点M的轨迹方程.
解答 (1)证明:由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,m∈R得:(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,
∵m∈R,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$,得x=3,y=1,
故l恒过定点D(3,1)
∵D(3,1)在第一象限,
∴直线l恒过第一象限;
(2)解:因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,
则点D在圆C的内部,直线l与圆C相交.
圆心C(1,2),半径为5,|CD|=$\sqrt{5}$,
当截得的弦长最小时,l⊥CD,由于kCD=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$,
则l的斜率为2,即有-$\frac{2m+1}{m+1}$=2,解得m=-$\frac{3}{4}$.
此时最短弦长为2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$,
故当m=-$\frac{3}{4}$时,直线被圆截得的弦最短,最短的弦长是4$\sqrt{5}$.
(3)解:设M(x,y),则由CM⊥DM得$\frac{y-2}{x-1}$•$\frac{y-1}{x-3}$=-1,∴x2+y2-4x-3y+5=0.
点评 本题考查直线系方程的应用,考查直线与圆的位置关系,考查平面几何知识的运用,考查计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | [x1,x3] | B. | [x2,x4] | C. | [x3,x5] | D. | [x1,x2] |
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