Question

【题目】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD= ，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；
（2）求三棱锥B1﹣EA1C1的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过B作CD的垂线交CD于F，

则

在 ．

在△BCE中，∵BE2+BC2=9=EC2，

∴BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，∴BE⊥BB1，

∵BC∩BB1=B，∴BE⊥平面BB1C1C

（2）证明：∵点E到平面A11C1的距离为AA1=3，

∴三棱锥B1﹣EA1C1的体积：

= =

= = ．

【解析】（1）过B作CD的垂线交CD于F，推导出BE⊥BC，BE⊥BB1 ， 由此能证明BE⊥平面BB1C1C．（2）三棱锥B1﹣EA1C1的体积： = ，由此能求出结果．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．