Question

设a是正数，ax+y=2（x≥0，y≥0），记y+3x-

1

2

x²的最大值是M（a），试求：
（1）M（a）的表达式；（2）M（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）将代数式y+3x-

1

2

x²表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M（a）．
（2）由（1）知）M（a）是分段函数，对每一段进行求最小值，然后从中选最小的，作为M（a）的最小值．

解答：解：（1）设S（x）=y+3x-

1

2

x²，将y=2-ax代入消去y，得：
S（x）=2-ax+3x-

1

2

x²
=-

1

2

x²+（3-a）x+2
=-

1

2

[x-（3-a）]²+

1

2

（3-a）²+2（x≥0）
∵y≥0∴2-ax≥0
而a＞0∴0≤x≤

2

a

下面分三种情况求M（a）
（i）当0＜3-a＜

2

a

（a＞0），即

0＜a＜3 a2- 3a+2＞0

时
解得0＜a＜1或2＜a＜3时
M（a）=S（3-a）=

1

2

（3-a）²+2
（ii）当3-a≥

2

a

（a＞0）即

a＞0 a2- 3a+2≤0

时，
解得：1≤a≤2，这时
M（a）=S（

2

a

）=2-a•+3•

2

a

-

1

2

•(

2

a

)2=-

2

a2

+

6

a

（iii）当3-a≤0；即a≥3时
M（a）=S（0）=2
综上所述得：
M（a）=

1 2 (3-a)2+2   (0＜a＜1) - 2 a2 + 6 a         1≤a≤2 1 2 (3-a)2+2    (2＜a＜3) 2        (a≥3)

（2）下面分情况探讨M（a）的最小值．
当0＜a＜1或2＜a＜3时
M（a）=

1

2

（3-a）²+2＞2
当1≤a≤2时
M（a）=-

2

a2

+

6

a

=-2（

1

a

-

3

2

）²+

9

2

∵1≤a≤2?

1

2

≤

1

a

≤1
∴当

1

a

=

1

2

时，M（a）取小值，即
M（a）≥M（2）=

5

2

当a≥3时，M（a）=2
经过比较上述各类中M（a）的最小者，可得M（a）的最小值是2．

点评：本题主要考查函数思想的和分类讨论思想．解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3-a是否在定义域区间[0，

2

a

]内，这样就引出三种讨论情况，找出解题的方案．