Question

已知曲线C的极坐标方程为：ρ²-2

2

ρcos（θ+

π

4

）-2=0，直线l的参数方程为

x= 4 5 t y=1- 3 5 t

（t为参数）．
（1）化曲线C，直线l的方程为直角坐标方程；
（2）求曲线C截直线l所得的弦长．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C的极坐标方程：ρ²-2

2

ρcos（θ+

π

4

）-2=0，展开为ρ2-2

2

×

2

2

（ρcosθ-ρsinθ）-2=0，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化为直角坐标方程，消去t即可得到直线l的方程；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d，利用弦长=2

r2-d2

即可得出．

解答： 解：（1）由曲线C的极坐标方程：ρ²-2

2

ρcos（θ+

π

4

）-2=0，展开为ρ2-2

2

×

2

2

（ρcosθ-ρsinθ）-2=0，化为x²+y²-2x+2y-2=0，即（x-1）²+（y+1）²=4．
直线l的参数方程为

x= 4 5 t y=1- 3 5 t

（t为参数），消去参数t可得3x+4y-4=0．
（2）由（1）可得曲线C的圆心C（1，-1），半径r=2．
∴圆心C到直线l的距离d=

|3-4-4|

32+42

=1．
∴曲线C截直线l所得的弦长=2

r2-d2

=2

3

．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、直线参数方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．