【题目】在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N+),
(1)计算a2、a3、a4并由此猜想通项公式an;
(2)证明(1)中的猜想.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析(1)根据递推关系式依次求a2、a3、a4,根据分子分母之间关系猜想通项公式an(2)利用数学归纳法证明,先证起始项,再利用an+1=及归纳假设证n=k+1情况
试题解析:(1)在数列{an}中,∵a1=2,an+1=(n∈N*)
∴a1=2=,a2==,a3==,a4==,
∴可以猜想这个数列的通项公式是an=.
(2)方法一:下面利用数学归纳法证明:
①当n=1时,成立;
②假设当n=k时,ak=.
则当n=k+1(k∈N*)时,ak+1===,
因此当n=k+1时,命题成立.
综上①②可知:n∈N*,an=都成立,
方法二:∵an+1=,
∴==1+,∴﹣=1,∵a1=2,∴=,
∴{}是以为首项,以1为公差的等差数列,∴=+(n﹣1)=,∴an=
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为。在以原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为。
(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(2)若点P坐标为,圆与直线交于两点,求的值。
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【题目】某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如下表:
第一车间 | 第二车间 | 第三车间 | |
女工 | 173 | 100 | y |
男工 | 177 | x | z |
已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0. 15.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,问应在第三车间抽取多少名?
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【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如表的列联表:
算得,K2≈7.8.见附表:参照附表,得到的正确结论是( )
男 | 女 | 总计 | |||||
爱好 | 40 | 20 | 60 | ||||
不爱好 | 20 | 30 | 50 | ||||
总计 | 60 | 50 | 110 | ||||
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 | ||||
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 | ||||
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
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【题目】已知、分别是椭圆 的左、右焦点,点是椭圆上一点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于,两点,若,其中为坐标原点,判断到直线的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】设人的某一特征(如眼睛的大小)是由他的一对基因所决定,以d表示显性基因,r表示隐性基因,则具有dd基因的人为纯显性,具有rr基因的人为纯隐性,具有rd基因的人为混合性,纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各得到一个基因,假定父母都是混合性,问:
(1)1个孩子显露显性特征的概率是多少?
(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个显露显性特征”,这种说法正确吗?
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【题目】已知函数在点处的切线与直线垂直.(注: 为自然对数的底数)
(1)求的值;
(2)若函数在区间上存在极值,求实数的取值范围;
(3)求证:当时, 恒成立.
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【题目】已知椭圆的左焦点为,右顶点为,上顶点为,过、、三点的圆的圆心坐标为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线(为常数, )与椭圆交于不同的两点和.
(ⅰ)当直线过,且时,求直线的方程;
(ⅱ)当坐标原点到直线的距离为,且面积为时,求直线的倾斜角.
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【题目】观察图中各正方形图案,每条边上有an个圆点,第an个图案中圆点的个数是an,按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为( )
A. B.
C. D.
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