Question

已知函数y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记f（x）=

ax

ax+2

．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）+f（1-x）=1；
（3）求f（

1

2013

）+f（

2

2013

）+f（

3

2013

）+…+f（

2010

2013

）+f（

2011

2013

）+f（

2012

2013

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用指数函数的单调性，对a进行分类讨论，求出最值，得出关于a的方程，并解方程可得a．
（2）按照函数值的定义以及有理数指数幂运算法则计算证明f（x）+f（1-x）=1
（3）由（2）f（x）+f（1-x）=1，对原式按照结合律计算化简即可．

解答：解：（1）∵y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，
∴a＞1时，a²+a=20，解得a=4，
1＞a＞0时，a+a²=20，无解．
综上所述，a=4．
（2）由（1）得，f（x）=

4x

4x+2

，
f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4 +2•4x

（第二项分子分母同乘以4^x）
=

2•4x

2(4x+2)

+

4

4 +2•4x

=1．
（3）由（2）知，f（

1

2013

）+f（

2012

2013

）=1，
f（

2

2013

）+f（

2011

2013

）=1，
…
f（

1006

2013

）+f（

1007

2013

）=1，
∴原式=1006．

点评：本题考查函数性质的应用以及函数性质的探求能力，考查计算、论证能力．