Question

【题目】已知函数f（x）＝2x3+ax2+bx+1的极值点为﹣1和1．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

【答案】(1) f（x）＝2x3﹣6x+1；(2) 单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1），极大值为5，极小值为﹣3．

【解析】

（1）由题意可知：f'（﹣1）＝0，f'（1）＝0，即可求出a，b的值；

（2）先求出导函数f'（x），令f'（x）＝0求出极值点，列表即可求出函数f（x）的单调区间与极值．

（1）f'（x）＝6x2+2ax+b，

由题意可知：f'（﹣1）＝0，f'（1）＝0，

∴，解得，

∴函数f（x）的解析式为：f（x）＝2x3﹣6x+1；

（2）由（1）可得f'（x）＝6x2﹣6＝6（x+1）（x﹣1），

令f'（x）＝0得，x＝﹣1，x＝1，

列表：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1），

极大值为f（﹣1）＝5，极小值为f（1）＝﹣3．