Question

设向量

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx）（x∈R，ω＞0），已知函数f（x）=

a

•

b

+1的最小正周期是

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最大值，并求出f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx），结合函数f（x）=

a

•

b

+1和平面向量数量积公式，我们易求出函数的解析式，进而根据函数f（x）的最小正周期是

π

2

，进而求出ω的值；
（2）根据（1）中的函数的解析式，结合正弦型函数的性质，我们易得到（x）的最大值，及f（x）取得最大值的x的集合．

解答：解：（1）∵

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx）
∴函数f（x）=

a

•

b

+1=2cos²ωx+2sinωx•cosωx+1
=cos2ωx+1+sin2ωx+1
=

2

sin（2ωx+

π

4

）+2
∵函数f（x）的最小正周期是

π

2

即

π

ω

=

π

2

∴ω=2
（2）由（1）可得f（x）=

2

sin（4x+

π

4

）+2
故当4x+

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z时，函数取最大值2+

2

此时x∈{x|x=

π

16

+

k

2

π，k∈Z}

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积公式，正弦型函数的单调性与ω的关系，正弦型的最值，其中根据平面向量的数量积公式，求出函数的解析式，是解答本题的关键．