Question

1．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{b}{2a+c}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简已知等式得2cosBsinA+sin（B+C）=0，由三角函数的诱导公式可得  sinA=sin（B+C），代入前面的等式并整理得sinA（2cosB+1）=0．由此解出cosB=-$\frac{1}{2}$，即可得出角B的大小．
（2）利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，将b及cosB的值代入，并利用基本不等式变形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{b}{2a+c}$，
∴根据正弦定理，得$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
去分母，得cosB（2sinA+sinC）=-sinBcosC，
即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得2cosBsinA+sin（B+C）=0，
∵△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．
又∵△ABC中，sinA＞0，
∴2cosB+1=0，可得cosB=-$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{2}{3}$π．
（2）∵b=3，cosB=cos$\frac{2}{3}$π=-$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即9=a²+c²+ac≥3ac，即ac≤3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（当且仅当ac时取等号），
则△ABC面积最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．