Question

21、如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N．
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN．

Answer 1

分析：（1）由结论联想判定定理，要证明BC⊥平面PAC，需证明BC垂直于平面PAC中的两条相交直线．已知BC⊥AC，尚缺条件PA⊥BC．于是考虑从其它条件所具备的性质中去寻找．
（2）欲证PB⊥平面AMN，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PB与平面AMN内两相交直线垂直，根据线面垂直的判定定理可知AN⊥面PBC，从而AN⊥PB，又PB⊥AM，AM∩AN=A，满足定理所需条件．

解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴PA⊥BC，又AB为斜边，
∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵BC⊥平面PAC，AN?平面PAC
∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB?平面PBC．∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定．应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，同时考查了空间想象能力，属于基础题之列．