Question

（2005•东城区一模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证DE∥平面ABC，需在平面ABC内找到一条与DE平行的直线即可，有体重条件可联想连结A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP，然后利用三角形中位线知识加以证明；
（Ⅱ）要证B₁F⊥平面AEF，需要证B₁F垂直平面AEF内的两条相交直线，由绵绵垂直的性质易证B₁F⊥AF，通过解三角形利用勾股定理得到B₁F⊥FE，由线面垂直的判定得证；
（Ⅲ）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的平面角．

解答：（I）证明：连结A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP．
由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP
可证A₁E=EP，
∵D、E是A₁B、A₁P的中点，∴DE∥BP，又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC  
（II）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点

∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，
由三垂线定理可证B₁F⊥AF
设AB=A₁A=a
则B1F2=

3

2

a2，EF2=

3

4

a2，B1E2=

9

4

a2
∴B1F2+EF2=B1E2，∴B₁F⊥FE
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF
（III）解：法一、
过F做FM⊥AE于点M，连接B₁M
∵B₁F⊥平面AEF，
由三垂线定理可证B₁M⊥AE
∴∠B₁MF为二面角B₁-AE-F的平面角
C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可证EF⊥AF
在Rt△AEF中，可求FM=

30

10

a
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，
∴tan∠B1MF=

B1F

FM

=

5

∴∠B1MF=arctan

5

∴二面角B₁-AE-F的大小为arctan

5

法二、
如图建立空间直角坐标系O-xyz

令AB=AA₁=4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B₁（4，0，4）

B1A

=(-4，0，-4)，

B1F

=(-2，2，-4)．
平面AEF的法向量为

B1F

=(-2，2，-4)，设平面B₁AE的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

n • AE =0 n • B1A =0

，即

2y+z=0 x+z=0

令x=2，则z=-2，y=1，∴

n

=(2，1，-2)
∴cos＜

n

，

B1F

＞=

n • B1F

| n || B1F |

=

6

9 × 24

=

6

6

∴二面角B₁-AE-F的大小为arccos

6

6

点评：本题考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角的方法，考查了学生的空间想象和思维能力，属中档题．