Question

【题目】函数f（x）=ln（x+m）﹣nlnx．
（1）当m=1，n＞0时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）n=1时，函数g（x）=（m+2x）f（x）﹣am，若存在m＞0，使得g（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=ln（x+1）﹣nlnx．（x∈（0，+∞））．

f′（x）= ﹣ = ．

①当n=1时，f′（x）= ，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．

②当0＜n＜1时，由f′（x）＜0，解得 ，∴函数f（x）的单调递减区间为 ．

③当1＜n时，由f′（x）＜0，解得x＞0，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．

（2）n=1时，函数g（x）=（m+2x）f（x）﹣am=（m+2x）[ln（x+m）﹣lnx]﹣am，（x＞0）．

由g（x）＞0可得： ＞0，即 ﹣a ＞0，

设 =t＞1．∴（t+1）lnt﹣a（t﹣1）＞0，lnt﹣ ＞0．

令h（t）=lnt﹣ ，（t＞1）．h′（t）= ，h（1）=0．

①a≤2时，t2+2（1﹣a）t+1≥t2﹣2t+1＞0．∴h′（t）＞0，

可得函数h（t）在（1，+∞）上单调递增．可得h（t）＞h（1）=0．

②a＞2时，h′（t）=0，即t2+2（1﹣a）t+1=0，

解得t1=a﹣1﹣ ，t2=a﹣1+ ，

由t2＞1，t1t2=1，可得t1＜1．∴函数h（t）在（1，t2）上单调递减，

∴h（t）＜h（1）=0．舍去．

综上可得：实数a的取值范围是a≤2．

【解析】（1）利用函数单调性的性质再利用导数与函数单调性的关系列出不等式求解即可。（2）根据题意构造函数h（t）讨论该函数的导函数，利用导函数的性质得出当a在不同区间上时原函数的单调性进而可得出满足题意的a的取值范围。
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．