定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m、n∈R恒成立,当x>0时,f(x)>2.
(Ⅰ) 求证f(x)在R上是单调递增函数;
(Ⅱ)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(|t2-t|)≤8;
(Ⅲ)若f(-2)=-4,且不等式f(t2+at-a)≥-7对任意t∈[-2,2]恒成立.求实数a的取值范围.
【答案】
分析:(Ⅰ)结合已知先构造x
2-x
1>0,可得f(x
2-x
1)>2,利用函数的单调性的定义作差f(x
1)-f(x
2)变形可证明
(Ⅱ)由f(1),及f(2)=f(1)+f(1)-2可求f(2),然后结合(I)中的函数的单调性可把已知不等式进行转化,解二次不等式即可
(Ⅲ)由f(-2)及已知可求f(-1),进而可求f(-3),由已知不等式及函数的单调性可转化原不等式,结合恒成立与最值求解的相互转化即可求解
解答:证明:(Ⅰ)?x
1,x
2∈R,当x
1<x
2时,x
2-x
1>0,
∴f(x
2-x
1)>2f(x
1)-f(x
2)
=f(x
1)-f(x
2-x
1+x
1)
=f(x
1)-f(x
2-x
1)-f(x
1)+2
=2-f(x
2-x
1)<0,
所以f(x
1)<f(x
2),
所以f(x)在R上是单调递增函数…(4分)
(Ⅱ)∵f(1)=5,
∴f(2)=f(1)+f(1)-2=8,
由f(|t
2-t|)≤8得f(|t
2-t|)≤f(2)
∵f(x)在R上是单调递增函数,所以
…(8分)
(Ⅲ)由f(-2)=-4得-4=f(-2)=f(-1)+f(-1)-2⇒f(-1)=-1
所以f(-3)=f(-2)+f(-1)=-4-1-2=-7,
由f(t
2+at-a)≥-7得f(t
2+at-a)≥f(-3)
∵f(x)在R上是单调递增函数,
所以t
2+at-a≥-3⇒t
2+at-a+3≥0对任意t∈[-2,2]恒成立.
记g(t)=t
2+at-a+3(-2≤t≤2)
只需g
min(t)≥0.对称轴
(1)当
时,
与a≥4矛盾.
此时a∈ϕ
(2)当
时,
,
又-4<a<4,所以-4<a≤2
(3)当
时,g
min(t)=g(2)=4+2a-a+3≥0⇒a≥-7
又a≤-4
∴-7≤a≤-4
综合上述得:a∈[-7,2]…(14分)
点评:本题主要考查了赋值法在抽象函数的函数值的求解中的应用,抽象函数的单调性的证明及函数的恒成立问题的应用,具有很强的综合性