【答案】
分析:(1)先确定D为A
1C
1的中点,利用线面平行的性质证明BC
1可以平行于此面内过点D的一条直线,就说明点D的位置确定是正确的.
(2)过D作DF⊥A
1B
1于F,由正三棱锥的性质可得,∠DGF为平面AB
1D与侧面AB
1所成的角的平面角,解直角三角形求出此角的正切值,便可求出此角的大小.先证明∠A
1DA是平面AB
1D与上底面所成的角的平面角,把它放在直角三角形中,求出此角的正切值,
可得此角的大小.
(3)过A
1作A
1M⊥AD,证明A
1M是A
1到平面AB
1D的距离,面积法求出此距离.
解答:解:(1)D为A
1C
1的中点.连接A
1B与AB
1交于E,
则E为A
1B的中点,DE为平面AB
1D与平面A
1BC
1的交线,∵BC
1∥平面AB
1D
∴BC
1∥DE,∴D为A
1C
1的中点;
(2)过D作DF⊥A
1B
1于F,由正三棱锥的性质,A
A
1⊥DF,∴DF⊥平面AB
1,连接DG,
则∠DGF为平面AB
1D与侧面AB
1所成的角的平面角,可求得
,
由△B
1FG~△B
1AA
1,得
,∴
∵D为A
1C
1的中点,∴B
1D⊥A
1C
1,由正三棱锥的性质,AA
1⊥B
1D,∴B
1D⊥平面A
1C
∴B
1D⊥AD,∴∠A
1DA是平面AB
1D与上底面所成的角的平面角,
可求得
,∴∠A
1DA=
;
(3)过A
1作A
1M⊥AD,∵B
1D⊥平面A
1C,∴B
1D⊥A
1M,∴A
1M⊥平面AB
1D
即A
1M是A
1到平面AB
1D的距离,
,∴A
1M=
.
点评:本题考查线面角、二面角的求法,点、线、面间距离的计算,及棱柱的结构特征.