【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)(文)若是椭圆上的动点,过P作垂直于x轴的垂线,垂足为M,延长MP至N,使得P恰好为MN中点,求点N的轨迹方程;
(理)若已知点,是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
【答案】(1)y2=1(2)(文)x2+y2=4.(理)(x)2+4(y)2=1.
【解析】
(1)由左焦点为F(),右顶点为D(2,0),得到椭圆的半长轴a,半焦距c,再求得半短轴b,最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程.
(2)(文)设N(x,y),则M(x,0),利用中点坐标公式可得P(x,),代入椭圆的标准方程即可得出.
(理)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由中点坐标公式可知,将P代入椭圆方程,即可求得线段PA中点M的轨迹方程
(1)由题意可知:椭圆的焦点在x轴上,设1(a>b>0),
由椭圆的左焦点为F(,0),右顶点为D(2,0),即a=2,c,
则b2=a2﹣c2=1,
∴椭圆的标准方程为:y2=1
(2)(文)设N(x,y),则M(x,0),利用中点坐标公式可得P(x,),
代入椭圆C1的标准方程为x2+y2=4.
所以N的轨迹方程为x2+y2=4.
(理)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),
由中点坐标公式可知,整理得:,
由点P在椭圆上,
∴(2y)2=1,
∴线段PA中点M的轨迹方程是:(x)2+4(y)2=1.
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【题目】某影院共有1000个座位,票价不分等次,根据该影院的经营经验,当每张票价不超过10元时,票可全部售出,当每张票价高于10元时,每提高1元,将有30张票不能售出,为了获得更好的收益,需给影院一个合适的票价,符合的基本条件是:
①为了方便找零和算账,票价定为1元的整数倍;
②影院放映一场电影的成本费为5750元,票房收入必须高于成本支出.
(1)设定价为()元,净收入为元,求关于的表达式;
(2)每张票价定为多少元时,放映一场的净收入最多?此时放映一场的净收入为多少元?
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【题目】某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取2000名进行调查,将受访用户按年龄分成5组: 并整理得到如下频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于40岁的概率;
(3)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄.
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【题目】如图①,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点(端点除外),将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A′(如图②).
(1)求证:A′D⊥EF;
(2)当点E,F分别为AB,BC的中点时,求直线A′E与直线BD所成角的余弦值.
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【题目】采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查,为此将他们随机编号为,,,,分组后某组抽到的号码为41.抽到的人中,编号落入区间 的人数为( )
A. 10 B. C. 12 D. 13
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【题目】已知椭圆的离心率为,分别为左,右焦点,分别为左,右顶点,D为上顶点,原点到直线的距离为.设点在第一象限,纵坐标为t,且轴,连接交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)(文)若三角形的面积等于四边形的面积,求直线的方程;
(理)求过点的圆方程(结果用t表示)
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【题目】已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列,对于函数,若数列为等差数列,则称函数为“保比差数列函数”,现有定义在上的如下函数:①,②,③;④,则为“保比差数列函数”的所有序号为( )
A.①②B.①②④C.③④D.①②③④
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【题目】已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.
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