Question

【题目】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，若．

(1)求抛物线的方程；

(2)若AB的中垂线交抛物线于C、D两点，求过A、B、C、D四点的圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先联立直线方程和抛物线方程并消去，利用韦达定理结合弦长公式可计算.也可以利用焦点弦公式（是焦点弦的倾斜角）来计算.

（2）由（1）得到的中点的坐标，故可得的直线方程，联立的直线方程和抛物线的方程后可得的中点（即为所求圆的圆心），再利用弦心距和弦长计算半径后可得圆的标准方程.

（1）法一：据题意设抛物线方程为.

则，即.

设，.则

∴，∴，

法二：，∵ ，∴.

∴，∴ ，∴.

（2）由（1）知，中点，∴的方程为：，即

.

设，.

∴，∴的中点.由（1）知道的中点为，所以，∴所求圆的方程为.