Question

定义在R上的函数f（x）满足f(x)=

|x-1|，x＞2 2，-2≤x≤2 x x-1 ，x＜-2

，
（1）求 f[f（-3）]
（2）试判断函数在区间（-∞，-2）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用分段函数先求f（-3），然后求f[f（-3）]．
（2）利用定义法判断函数f(x)=

x

x-1

在区间（-∞，-2）上的单调性．

解答：解：（1）由分段函数可得f（-3）=

-3

-3-1

=

3

4

，所以f[f（-3）]=f(

3

4

)=2．
（2）证明函数f（x）在区间（-∞，-2）上单调递减．
设x₁＜x₂＜-2，则f(x1)-f(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x1(x2-1)-x2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
因为x₁＜x₂0，x₁-1＜0，x₂-10，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在区间（-∞，-2）上单调递减．

点评：本题考查了分段函数求值以及利用函数单调性的定义去判断函数的单调性．要求熟练掌握函数单调性的证明方法，函数单调性的判断和证明一是利用单调性，二是利用导数法．