Question

(2007北京宣武模拟)如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．

(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

(2)在(1)的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；

(3)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如图建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(a，0，0)，，C(a，a，0)，D(0，2a，0)， ∴，， ∴，∴BE⊥PD． 则， ∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为． (3)易知，CB⊥AB，CB⊥PA． 则CB⊥平面PAB． 又设平面PCD的一个法向量为 m=(x，y，z)， 则m⊥PC，m⊥CD． ∴由， 得∴ 则．∴tanθ=2． ∴平面PAB与平面PCD所成二面角的正切值为2．