【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为,直线与抛物线交于两点,过这两点分别作抛物线的切线,且这两条切线相交于点.
(1)若的坐标为,求的值;
(2)设线段的中点为,点的坐标为,过的直线与线段为直径的圆相切,切点为,且直线与抛物线交于两点,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)抛物线的焦点到准线的距离为可得,从而得到抛物线的方程,然后设出切线切线的方程为,由求得,由切点在抛物线上可得到,即为所求。(2)由(1)得到以线段为直径的圆为圆。由题意只需考虑斜率为正数的直线即可,根据几何知识得,故的方程为,由弦长公式可得,又,所以,最后根据可得。
试题解析:
(1)由抛物线的焦点到准线的距离为,得,
则抛物线的方程为.
设切线的方程为,代入得,
由得,
当时,点的横坐标为,
则,
当时,同理可得.
综上得。
(2)由(1)知, ,
所以以线段为直径的圆为圆,
根据对称性,只要探讨斜率为正数的直线即可,
因为为直线与圆的切点,
所以, ,
所以,
所以,
所以直线的方程为,
由消去整理得,
因为直线与圆相交,所以。
设,则,
所以,
所以,
设,因为,所以,
所以,
所以.
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【题目】锐角△ABC中,其内角A,B满足:2cosA=sinB﹣ cosB.
(1)求角C的大小;
(2)D为AB的中点,CD=1,求△ABC面积的最大值.
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【题目】以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程是ρ=2,矩形ABCD内接于曲线C1 , A,B两点的极坐标分别为(2, )和(2, ),将曲线C1上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的一半,得到曲线C2 .
(1)写出C,D的直角坐标及曲线C2的参数方程;
(2)设M为C2上任意一点,求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范围.
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
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【题目】某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温 (℃)与该小卖部的这种饮料销量(杯),得到如下数据:
日期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均气温(℃) | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据所给五组数据,求出关于的线性回归方程;
(2)据(1)中所得的线性回归方程,若天气预报1月16日的白天平均气温7(℃),请预测该奶茶店这种饮料的销量.
(参考公式:,)
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【题目】已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为 ,椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率存在的直线l与椭圆C交于A,B两点,并且满足|2 + |=|2 ﹣ |,求直线在y轴上截距的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=﹣2sin2x+2 sinxcosx+1.
(1)求f(x)的最小正周期及对称中心;
(2)若x∈[﹣ , ],求f(x)的最大值和最小值.
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