Question

已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=t-3 y= 3 t

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0．
（1）求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．
（2）求出圆心到直线的距离d，结合圆的性质即可求得点P到直线l的距离的取值范围．

解答：解：（1）由ρ²-4ρcosθ+3=0，化为直角坐标方程：x²+y²-4x+3=0，
即曲线C的方程为x²+y²-4x+3=0，
由直线l的参数方程为

x=t-3 y= 3 t

（t为参数）消去t，得直线l的方程是：

3

x-y+3

3

=0…（4分）
（2）曲线C的标准方程为 （x-2）²+y²=1，圆心C（2，0），半径为1．
∴圆心C到直线l的距离为：d=

|2 3 -0+3 3 |

4

=

5 3

2

．  …（6分）
所以点P到直线l的距离的取值范围是[

5 3

2

-1，

5 3

2

+1]．

点评：本题考查曲线参数方程、点的极坐标和直角坐标的互化应用，考查数形结合思想，属于中档题．