Question

（2013•泰安一模）已知椭圆C₁：

y2

16

+

x2

4

=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率．
（I）求椭圆C₂的方程；
（II）设直线l与椭圆C₂相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且

QA

•

QB

=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设椭圆C₂的方程，利用椭圆C₁：

y2

16

+

x2

4

=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率，即可确定椭圆的方程；
（II）设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，设线段AB的中点为M，确定M的坐标，分类讨论，利用

QA

•

QB

=4，即可得到结论．

解答：解：（I）设椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆C₁：

y2

16

+

x2

4

=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率
∴a=2，e=

3

2

∴c=

3

∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆C₂的方程为

x2

4

+y2=1；
（II）点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
与椭圆C₂的方程联立，整理得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
∴-2x₁=

16k2-4

1+4k2

，得x₁=

-8k2+2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

）
①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
∴

QA

=（-2，-y₀），

QB

=（2，-y₀）．
由

QA

•

QB

=4得y₀=±2

2

，∴l的方程为y=0；
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)
令x=0，解得y₀=-

6k

1+4k2

∴

QA

=（-2，-y₀），

QB

=（x₁，y₁-y₀）．
∴

QA

•

QB

=（-2，-y₀）•（x₁，y₁-y₀）=-2•

-8k2+2

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）=4
∴7k²=2
∴k=±

14

7

，
∴l的方程为y=±

14

7

(x+2)．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力，属于中档题．