Question

12．已知函数f（x）=x（x-m）²+1（m∈R）在x=1处有极大值．
（1）求m的值；
（2）求f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，5]上的值域．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）求导，利用函数的导函数与极值的关系，令导函数等于0即可解出m的值．
（2）根据导数和函数最值的关系即可求出函数的值域．

解答 解：（1）∵f′（x）=（x-m）²+2x（x-m）=3x²-4mx+m²，且f（x）=x（x-m）²+1（m∈R）在x=1处有极大值，
∴f′（1）=0，即m²-4m+3=0，解得m=1或3．
经检验m=1时，函数f（x）在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．
故m=3．
（2）由（1）知f′（x）=3x²-12x+9，令f′（x）=0，解得x=1或x=3，
当f′（x）＞0时，即$\frac{1}{2}$≤x＜1，或3＜x≤5，函数f（x）为增函数，
当f′（x）＞0时，即1＜x＜3，函数f（x）为减函数，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{33}{8}$，f（3）=1，f（1）=5，f（5）=21，
∴f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，5]上的值域为[1，21]

点评 本题考查了导数和函数的极值和最值的关系，关键是判断函数的单调性，属于中档题．