Question

（2009•长宁区二模）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BC，CD的中点，
求：（1）直线A₁D与平面EFD₁B₁所成角的大小；（2）二面角B-B₁E-F的大小．

Answer 1

分析：（1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出平面EFD₁B₁  的一个法向量，再求线A₁D 的一个方向向量，进而利用夹角公式求解；
（2）因为平面BB₁E 垂直于y 轴，所以可求平面BB₁E 的一个法向量，进而利用夹角公式求解，需主要判断夹角是钝角还是锐角；

解答：解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，建立空间直角坐标系，A₁（2，0，0），D（0，0，2），D₁（0，0，0），B₁（2，2，0），F（0，1，2），于是

D1F

=(0，1，2)，

D1B1

=(2，2，0)，

A1D

=(-2，0，2)．
（1）设

n1

=(u，v，w)是平面EFD₁B₁  的一个法向量，
∵

n1

⊥

D1F

，

n1

⊥

D1B1

，
∴

n1

?

D1F

=v+2w=0，

n1

?

D1B1

=2(u+v)=0，
解得u=-v，w=-

v

2

．取v=-2，
∴

n1

=(2，-2，1)．
由

A1D

=(-2，0，2) 知直线A₁D 的一个方向向量为

d

=(-1，0，1)．
设直线A₁D 与平面EFD₁B₁ 所成角为θ，

d

与

n1

所成角为?，则cos?=

d ? n1

| d || n1 |

=-

2

6

，
因sinθ=|cos?|=

2

6

，即直线A₁D 与平面EFD₁B₁ 所成角为arcsin

2

6

．
（2）因为平面BB₁E 垂直于y 轴，所以平面BB₁E 的一个法向量为

n2

=(0，1，0)，
设

n1

与

n2

的夹角为?，则cos?=

n1 ? n2

| n1 || n2 |

=-

2

3

，
结合图可判断所求二面角B-B₁E-F 是钝角，大小为π-arccos

2

3

．

点评：本题的考点是用空间向量求平面的夹角．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，进而得到线面的平行关系与垂直关系，也有利于建立坐标系，利用向量解决空间角、空间距离等问题．