Question

【题目】已知点，直线上有两点E，F使，点P在线段的延长线上，且.

（1）若，求点P的轨迹方程；

（2）若在点P的轨迹上存在两点M，N，设，的夹角为.

①若，求证：直线过定点，并求定点坐标；

②若为锐角，求直线与x轴交点横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析，；②或..

【解析】

先利用参数求出点轨迹方程，

（1）代入后可得（注意去掉原点）；

（2）设点的坐标为，点的坐标为，，代入（1）中方程然后相减可得，写出直线方程，令得，

①若，．由此可得，代入后得定点坐标；

②若为锐角，，可得的范围，从而出结论．

解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，

因为点在线段的延长线上，∴，∴

所以点的坐标为，∴，.

，∴，∴.

（1）若，则点的轨迹方程是.

（2）设点的坐标为，点的坐标为，，

∴，，∴

∴

∴直线的方程是即

令，得.……………………（1）

①若，∴，∴.

∴，∴

代入（1）式得，所以直线过定点，该定点坐标是.

②若为锐角，∴，∴

∴，

∴，∴，

∴或

代入（1）式得或.

直线与轴交点横坐标的取值范围是或.