Question

13．计算：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}}$．

Answer 1

分析 先对原式的分子、分母分别求和，用到等比数列的求和公式，再取极限．

解答 解：先对该式的分子，分母分别求和，
观察可知，分子，分母都是等比数列的前n项和，
分子=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{3^n}$）；
分母=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{2^n}$），
所以，原式=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3（1-\frac{1}{3^n}）}{4（1-\frac{1}{2^n}）}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了数列极限的求法，涉及等比数列的求和公式，属于基础题．