Question

设圆的方程是（x-a）²+（y+b）²=a²+b²（其中a＞0且b＞0），给出下列三种说法：（1）该圆的圆心坐标为（a，b）．（2）该圆过原点．（3）该圆与x轴相交于两个不同点．其中（ ）
A．只有（1）与（2）正确
B．只有（1）与（3）正确
C．只有（2）与（3）正确
D．（1）、（2）与（3）都正确

Answer 1

【答案】分析：由圆的标准方程找出圆心坐标，即可判断选项（1）正确与否；把圆心坐标代入圆的方程左右两边相等，故圆过原点，选项（2）正确；令圆方程中y=0，得到关于x的方程，由a大于0，得到方程有两解，故圆与x轴相交于两个不同交点，选项（3）正确．
解答：解：∵圆的方程是（x-a）²+（y+b）²=a²+b²（其中a＞0且b＞0），
∴圆心坐标为（a，-b），故选项（1）错误；
把原点坐标（0，0）代入圆的方程得：
方程左边=（x-a）²+（y+b）²=（0-a）²+（0-b）²=a²+b²=方程右边，
∴该圆过原点，故选项（2）正确；
令y=0，得到：
方程左边=（x-a）²+（0+b）²=（x-a）²+b²=x²-2ax+a²+b²=a²+b²，
即x²-2ax=0，解得x₁=0，x₂=2a，
∴该圆与x轴有两个交点，故选项（3）正确，
则选项（2）和（3）正确．
故选C
点评：此题考查了圆的标准方程，点与圆位置关系的判断方法，以及圆与坐标轴的交点坐标，要求学生会根据圆的标准方程找出圆心与半径，会求圆与坐标轴的交点坐标．