Question

已知p：?x∈R，f（x）=|x-2|+|x|＞m恒成立．q：f（x）=log_5m-2x在（0，+∞）为单调递增，当￢p、￢q有且仅有一个为真命题时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：易得函数f（x）的最小值，由恒成立可得p对应的m的范围，再由函数的单调性可得q对应的m的取值范围，进而可得￢p、￢q对应的m的范围，进而可得答案．

解答：解：去掉绝对值可得：f（x）=

2x-2  x＞2 2  0≤x≤2 2-2x  x＜0

，所以f（x）_min=2，
因为?x∈R，f（x）=|x-2|+|x|＞m恒成立，∴m＜2…（4分）
因为：q：f(x)=lo

g

5m-2

x  在(0，+∞)为单调增函数．
∴5m-2＞1即：m＞

3

5

…（8分）
故￢p是真命题时m≥2，￢q是真命题时m≤

3

5

，
因为￢p、￢q有且仅有一个为真命题
所以m的取值范围为：m≥2或m≤

3

5

…（12分）

点评：本题考查命题的否定和命题真假的判断，涉及绝对值和对数函数，属基础题．