Question

7．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|对任意x∈R有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₂-x₁|的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先将函数写出分段函数，结合三角函数的图象，再确定|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．

解答 解：由题意可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sinπx，}&{sinπx≥cosπx}\\{2cosπx，}&{sinπx＜cosπx}\end{array}\right.$，
若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，
则f（x₁）为函数的最小值，f（x₂）为函数的最大值．
|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．
由于x=$\frac{1}{2}$ 时，函数取得最大值2，x=$\frac{5}{4}$ 时，sinπx=cosπx=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函数取得最小值，
∴|x₂-x₁|的最小值为$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查三角函数的性质，确定|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题．