Question

在数列{a_n}中，都有a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N*）（p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：
（1）数列{（-1）ⁿ}是等方差数列；
（2）数列{a_n}是等方差数列，则数列{a_n²}也是等方差数列；
（3）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列；
（4）若数列{a_n}是等方差数列，则数列{a_kn}（k为常数，k∈N^*）也是等方差数列．
则正确命题序号为

 

．

Answer 1

分析：利用等方差的定义一个一个地进行演算，能够推出（2）不正确，其作的都正确．

解答：解：（1）数列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，（n≥2，n∈N*），
∴数列{（-1）ⁿ}是等方差数列．故（1）成立．
（2）例如：数列{

n

}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，
所以（2）不正确．
（3）∵数列{a_n}是等差数列，∴a_n-a_n-1=d．∵数列{a_n}是等方差数列，∴a_n²-a_n-1²=m，
∴（a_n-a_n-1）d=m，∴当d≠0时，an=d+

m

d

，既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列．
（4）数列{a_n}中的项列举出来是：a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
数列{a_kn}中的项列举出来是：a_k，a_2k，a_3k，…
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=…=a_2k²-a_2k-1²=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴a_kn+1²-a_kn²=kp，所以，数列{a_kn}是等方差数列．
故正确命题序号为（1）、（3）、（4）．

点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意掌握数列的概念．