Question

8．将长度为a的木条折成三段，求三段能构成三角形的概率$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先设线段分成三段中两段的长度分别为x、y，分别表示出线段随机地折成3段的x，y的约束条件和3段构成三角形的条件，再画出约束条件表示的平面区域，代入几何概型概率计算公式，即可求出构成三角形的概率

解答 解：设三段长分别为x，y，a-x-y，
则线段随机地折成3段的x，y的约束条件为 $\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜a}\\{0＜y＜a}\\{0＜a-x-y＜a}\end{array}\right.$，对应区域如下图三角形所示，其面积为 S=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
能构成三角形的条件为 $\left\{\begin{array}{l}{x+y＞a-x-y}\\{x+a-x-y＞y}\\{y+a-x-y＞x}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{2x+2y＞a}\\{a-2y＞0}\\{a-2x＞0}\end{array}\right.$．
对应区域如图中阴影部分所示，其面积S_阴影=$\frac{1}{2}×\frac{a}{2}×\frac{a}{2}=\frac{{a}^{2}}{8}$，
故把一条线段随机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率P=$\frac{\frac{{a}^{2}}{8}}{\frac{{a}^{2}}{2}}=\frac{1}{4}$；
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了几何概型，利用条件建立不等式条件是解决本题的关键．