Question

已知函数f(x)=ax3+

b

x2-a2x(a＞0)，f'（x）是f（x）的导函数，若存在x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，且f'（x₁）=f'（x₂）=0，|x₁|+|x₂|=2．
（1）证明0＜a≤3；
（2）求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导，f′(x)=3ax2+2

b

x-a2(a＞0)．由f'（x₁）=f'（x₂）=0，x₁、x₂是方程f'（x）=0的两实根，由此能够证明0＜a≤3．
（2）由x₁＜x₂且x1x2=-

a

3

＜0，知x₁＜0＜x₂|x₁|+|x₂|=-x₁+x₂=2．所以（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4．由此能求出实数a的范围．

解答：解：（1）求导，f′(x)=3ax2+2

b

x-a2(a＞0)…（1分）
由f'（x₁）=f'（x₂）=0，x₁、x₂是方程f'（x）=0的两实根
∴x1+x2=-

2 b

3a

，x1x2=-

a

3

从已知2=|x1|+|x2|≥2

|x1x2|

，
∴|x₁x₂|≤1，即|

a

3

|≤1
∴|a|≤3，又a＞0
∴0＜a≤3…（6分）
（2）∵x₁＜x₂且x1x2=-

a

3

＜0
∴x₁＜0＜x₂|x₁|+|x₂|=-x₁+x₂=2
∴（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4
代入韦达定理关系，得

4b

9a2

+

4a

3

=4
∴b=-3a³+9a²（0＜a≤3）…（9分）
求导，b'=-9a²+18a=-9a（a-2）
当a∈（0，2），b'＞0，b递增；
当a∈（2，3），b'＜0，b递减a=2时，
∴b_max=12，又当a=3时，b=0…（11分）
∴0≤b≤12为所求．…（12分）

点评：本题考查根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．