Question

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f (x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).
(1)求f(-1),f(2.5)的值;
(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;
(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.

Answer 1

(1)f(-1)=-k   f(2.5)=-
(2) f(x)=   f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数
(3) ①k<-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k²,
在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.
②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,
在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.
③-1<k<0时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-.

解:(1)f(-1)=kf(1)=-k,
∵f(0.5)=kf(2.5),
∴f(2.5)=f(0.5)=(0.5-2)×0.5=-.
(2)∵对任意实数x,f(x)=kf(x+2),
∴f(x-2)=kf(x),
∴f(x)=f(x-2),
当-2≤x<0时,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);
当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,
f(x)=kf(x+2)=k²(x+2)(x+4);
当2<x≤3时,0<x-2≤1,
f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4).
故f(x)=
∵k<0,
∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数.
(3)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,
f(x)在x=-3或x=1处取得最小值f(-3)=-k²或f(1)=-1,
而在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k或f(3)=-.
故有①k<-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k²,
在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.
②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,
在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.
③-1<k<0时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-.