Question

13．定义函数f_k（x）=$\frac{alnx}{{x}^{k}}$为f（x）的k阶函数．
（1）求f（x）的一阶函数f₁（x）的单调区间；
（2）讨论方程f₂（x）=1的解的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数f₁′（x），令f₁′（x）=0，讨论当当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，f₁（x）的单增区间，单减区间．
（2）由方程f₂（x）=1，当a=0时，方程无解；当a≠0时，$\frac{lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{a}$．构造函数g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），求出对数g′（x），利用函数的极值点，单调性，讨论出当0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2e}$，即a＞2e时，方程有两个不同解．当$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2e}$，即0＜a＜2e时，方程有0个解．当$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2e}$或$\frac{1}{a}$＜0即a=2e或a＜0时，方程有唯一解．

解答 解：（1）f₁（x）=$\frac{alnx}{x}$（x＞0），f₁′（x）=$\frac{a-alnx}{{x}^{2}}$=$\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$（x＞0），
令f₁′（x）=0，当a≠0时，x=e．
∴当a=0时，f₁（x）无单调区间；
当a＞0时，f₁（x）的单增区间为（0，e），单减区间为（e，+∞）；
当a＜0时，f₁（x）的单增区间为（e，+∞），单减区间为（0，e）．（6分）
（2）由$\frac{alnx}{{x}^{2}}$=1，当a=0时，方程无解；当a≠0时，$\frac{lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{a}$．
令g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），则g′（x）=$\frac{x-2xlnx}{{x}^{4}}$=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$．由g′（x）=0得x=$\sqrt{e}$，
从而g（x）在（0，$\sqrt{e}$）上单调递增，在（$\sqrt{e}$，+∞）上单调递减．g（x）_max=g（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$．
当x→0时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→0．
当0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2e}$，即a＞2e时，方程有两个不同解．
当$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2e}$，即0＜a＜2e时，方程有0个解．
当$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2e}$或$\frac{1}{a}$＜0即a=2e或a＜0时，方程有唯一解．
综上，当a＞2e时，方程有两个不同解；当0＜a＜2e时，方程有0个解；当a=2e或a＜0时，方程有唯一解．（16分）

点评 本题考查函数的导数的应用，构造法以及函数的极值，函数的零点个数的讨论，考查分类讨论以及转化思想的应用．