Question

18．定义在R上的奇函数g（x），设函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+g（x）}{{x}^{2}+1}$的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．

Answer 1

分析 由题意可得h（x）=$\frac{2x+g（x）}{{x}^{2}+1}$的最大最小值分别为M-1，m-1，由奇函数的性质可得（M-1）+（m-1）=0，变形可得答案．

解答 解：∵函数y=g（x）为奇函数，∴g（-x）=-g（x），
又f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+g（x）}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x+g（x）}{{x}^{2}+1}$的最大值为M，最小值为m，
又h（-x）=-$\frac{2x+g（x）}{{x}^{2}+1}$=-h（x），即y=h（x）为奇函数，
且h（x）=$\frac{2x+g（x）}{{x}^{2}+1}$的最大最小值分别为M-1，m-1，
由奇函数的性质可得（M-1）+（m-1）=0，
解得M+m=2．
故答案为：2．

点评 本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属基础题．