Question

已知函数， 在上为增函数，且，求解下列各题：

（1）求的取值范围；

（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；

（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）； （3）

【解析】

试题分析：（1）在上为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.由于分母恒大于0，故在上恒成立，而这只需 的最小值即可.由此可得的取值范围；

（2）在上为单调增函数，则其导数大于等于0在恒成立，变形得在恒成立.与（1）题不同的是，这里不便求的最小值，故考虑分离参数，即变形为.这样只需大于等于的最大值即可.而，所以；

（3）构造新函数＝，这样问题转化为：在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．而这只要的最大值大于0即可.

试题解析：（1）∵在上为增函数

∴在上恒成立，即在上恒成立

又

∴在上恒成立                     2分

只须，即，由有            3分

　　　 ∴                        4分

（2）由（1）问得

在上为单调增函数

在恒成立                      6分

∴即，而

在恒成立时有，即函数在上为单调增函数时，的范围为；                       8分

（3）由（1）问可知，，可以构造新函数＝               10分

①.当时，，

所以在上不存在一个，使得成立．        11分

②.当时， 

∵　　　∴，，所以在恒成立．

故在上单调递增，

∴只需满足，解得                13分

故的取值范围是                      14分

考点：1、导数的应用；2、不等式关系.