Question

（2013•烟台二模）已知椭圆M：：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；
（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；
（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S₁-S₂|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可转化为关于x₁，x₂的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；

解答：解：（I）因为F（-1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b²=3，
所以a²=4，所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到

x2 4 + y2 3 =1 y=x+1

，消掉y，得到7x²+8x-8=0，
所以△=288，x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
所以|CD|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

24

7

；
（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=-1，
此时D（-1，

3

2

），C（-1，-

3

2

），△ABD，△ABC面积相等，|S₁-S₂|=0，
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
和椭圆方程联立得到

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，消掉y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
显然△＞0，方程有根，且x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
此时|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₂+1）+k（x₁+1）|
=2|k（x₂+x₁）+2k|=

12|k|

3+4k2

=

12

3 |k| +4|k|

≤

12

2 3 |k| ×4|k|

=

12

2 12

=

3

，（k=±

3

2

时等号成立）
所以|S₁-S₂|的最大值为

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．