Question

已知函数f（x）=x³-3x+4
（1）证明：函数y=f（x）在[1，+∞）上为增函数；
（2）证明：方程f（x）=0没有大于1的根．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数和函数的单调性的关系，继而求出函数的单调区间，问题得以证明；
（2）根据导数和函数的极值的关系，先求出极值，得到极值都大于0，故f（x）=0只有一个小于-1的实根，问题得以证明

解答： 证明：（1）∵f（x）=x³-3x+4，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=0，解得x=-1，x=1
当f′（x）＞0时，即x＞1或x＜-1，函数f（x）单调递增，
∴函数y=f（x）在[1，+∞）上为增函数；
（2）由（1）知，函数f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）为增函数，在（-1，1）为减函数，
∴当x=-1时，函数有极大值，极大值为f（-1）=-1+3+4=6＞0，
当x=1时，函数有极小值，极小值为f（1）=1-3+4=2＞0
∴f（x）=0只有一个小于-1的实根，
∴方程f（x）=0没有大于1的根．

点评：本题考查了导数和函数的单调性极值的关系，属于中档题