Question

已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）a＝2; （Ⅱ）(－∞，5].

解析试题分析：（Ⅰ）根据可得|x－a|≤3，即a－3≤x≤a＋3，再由的解集为可得，即可求得a＝2；（Ⅱ）令g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，求得g(x)的最小值为5，再根据对一切实数恒成立可知 =5.
试题解析：（Ⅰ）由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，∴解得a＝2.
（Ⅱ）（解法一）当a＝2时，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
考点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值函数；3.不等式恒成立问题.