Question

动圆M经过定点F（1，0），且与直线x+1=0相切．
（1）求圆心M的轨迹C方程；
（2）直线l过定点F与曲线C交于A、B两点：
①若

AF

=2

FB

，求直线l的方程；
②若点T（t，0）始终在以AB为直径的圆内，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意：M到点F（1，0）距离与M到直线x+1=0距离相等，利用抛物线的定义，可得圆心M的轨迹C方程；
（2））①设直线l：x=my+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，及

AF

=2

FB

，可求直线l的方程；
②点T（t，0）始终在以AB为直径的圆内，等价于

TA

•

TB

＜0，利用向量数量积公式，建立不等式，即可求t的取值范围．

解答：解：（1）由题意：M到点F（1，0）距离与M到直线x+1=0距离相等，所以点M的轨迹是以F为焦点，直线x+1=0为准线的抛物线，其方程为y²=4x
（2）①设直线l：x=my+1，代入抛物线方程得：y²-4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，

AF

=(1-x1，-y1)，

FB

=(x2-1，y2)
由

AF

=2

FB

得-y₁=2y₂，代入y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，解得：m=±

2

4

所以所求直线方程为x=±

2

4

y+1．
②

TA

=(x1-t，y1)，

TB

=(x2-t，y2)，
由题意，点T（t，0）始终在以AB为直径的圆内，∴

TA

•

TB

＜0
即（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂＜0，x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，化简得：4tm²+4-（1-t）²＞0对于任意的m∈R恒成立．
1°t=0满足；
2°t≠0，则t＞0且4-（1-t）²＞0，解得0＜t＜3．
综上知，t的取值范围为0≤t＜3．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．