Question

4．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$sinA（sinB+\sqrt{3}cosB）=\sqrt{3}sinC$．
（1）求角A的大小；    
（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，又sinB≠0，由此得$tanA=\sqrt{3}$，结合范围0＜A＜π，即可求A．
（2）由上可知$C=\frac{2π}{3}-B$．由正弦定理得：$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{{sin\frac{π}{3}}}=2\sqrt{3}$，可得b+c=6sin（B+$\frac{π}{6}$），结合B的范围即可求得b+c的范围，结合a=3，即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由A+B+C=π，得sinC=sin（A+B），代入已知条件得：$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB$，…（1分）
即：$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，…（3分）
∵sinB≠0，由此得$tanA=\sqrt{3}$，…（4分）
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由上可知：$B+C=\frac{2π}{3}$，
∴$C=\frac{2π}{3}-B$．
由正弦定理得：$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{{sin\frac{π}{3}}}=2\sqrt{3}$，…（7分）
∴$b+c=2R（sinB+sinC）=2\sqrt{3}[sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）]$=$2\sqrt{3}（\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB）=6sin（B+\frac{π}{6}）$，…（9分）
∵由$0＜B＜\frac{2π}{3}$得：$\frac{1}{2}＜sin（B+\frac{π}{6}）≤1$，
∴3＜b+c≤6，且a=3，
∴△ABC周长的取值范围为（6，9]．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．