Question

12．如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）设BC的长度为x，矩形ABCD的面积为y，试写出y关于x的函数关系式；
（2）求当BC多少时，矩形ABCD的面积最大，并求出该最大值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，求出OB，然后求解表达式．
（2）利用基本不等式求出函数的最值即可．

解答 解：（1）连结OC，得$OB=\sqrt{900-{x^2}}$，所以AB=$2\sqrt{900-{x^2}}$，
所以y=$2x\sqrt{900-{x^2}}$，x∈（0，30）…．（8分）
（2）因为$2x\sqrt{900-{x^2}}≤{x^2}+900-{x^2}=900$．
即x²=900-x²，即x=$15\sqrt{2}$时取等号，此时y_max=900…（15分）
答：$BC=15\sqrt{2}$时，矩形ABCD的面积最大，最大为900cm²…．（16分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．