Question

已知椭圆的两个焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²与b²的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作直线交椭圆于另一点M，求|AM|长度的最大值；
（3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用c²是a²与b²的等差中项，可得，设出直线方程，利用直线与原点的距离为，建立等式，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）设M的坐标，表示出|AM|²，即可求|AM|长度的最大值；
（3）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及以CD为直径的圆过E点，结合向量知识，即可得到结论．
解答：（1）解：在椭圆中，由已知得（1分）
过点A（0，-b）和B（a，0）的直线方程为，即bx-ay-ab=0，
该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：（3分）
解得：a²=3，b²=1，所以椭圆方程为（4分）
（2）解：设M（x，y），则x²=3（1-y²），|AM|²=x²+（y+1）²=-2y²+2y+4，其中-1≤y≤1（16分）
当时，|AM|²取得最大值，所以|AM|长度的最大值为（9分）
（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得（11分）
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则，，
因为以CD为直径的圆过E点，所以，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，（13分）
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=，
所以，解得（14分）
如果对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．，即．
所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．