Question

53、a、b、c都是不小于1的实数，它们的积为10且a^lga，b^lgb，c^lgc的积不小于10，求a、b、c

Answer 1

分析：由题意列方程和不等式，因与10有关，故对两个式子同时取常用对数得到关于含有对数的式子，平方后把等式代入不等式，再利用a、b、c的范围和方程，求出a、b、c的值．

解答：解：由题意知，abc=10，a^lga•b^lgb•c^lgc≥10；对两个式子同时取常用对数得：
lga+lgb+lgc=1   ①，（lga）²+（lgb）²+（lgc）²≥1   ②，
将①平方得，（lga）²+（lgb）²+（lgc）²+2lgagb+2lgalgc+2lgblgc=1，
即（lga）²+（lgb）²+（lgc）²=1--（2lgagb+2lgalgc+2lgblgc），再代入②得，
lgagb+lgalgc+gblgc≤0，
∵a、b、c都是不小于1的实数，∴lga≥0、lgb≥0、lgc≥0；
∴lgalgb=lgblgc=lgalgc=0  ③，由①与③得：
可能有lga=0，lgb=1，lgc=0或lga=1，lgb=0，lgc=0或lga=0，lgb=0，lgc=1；
∴a=c=1，b=10或a=10，b=c=1或a=b=1，b=10

点评：本题的考点是对数运算性质的应用，即给条件求值，注意到题目条件既有等量关系，又有不等关系，要求a、b、c的具体值，一般进行合理的变形后利用非负性求解．