Question

已知下列三个方程x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为

a≤-

3

2

或a≥-1

．

Answer 1

分析：本题研究的三个方程至少有一个有实根，此类题求解时通常转化为求其对立面，研究三个方程都没有实根时实数a的取值集合，其补集即是所求的实数a的取值范围

解答：解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有

16a2+16a-12＜0 (a-1)2-4a2＜0 4a2+8a＜0

解得-

3

2

＜a＜-1
故三个方程x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a≤-

3

2

或a≥-1
故答案为a≤-

3

2

或a≥-1

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，求解本题关键是理解题意“至少有一个方程有实根”，此题若从正面求解需要分的情况较多，不易解答，而对立面易求解，故采取了求三个方程都没有实数根时参数的取值范围，再求其补集得出答案，此解法应用了反证法的思想，其规律称为正难则反，解题是题设中出现了“至多”，“至少”这样的字样时，要注意使用本题这样的解法技巧．